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ÉTUDE D'UNE FONCTION - APPLICATION ÉCONOMIQUE: CORRIGÉ

PARTIE A

    1. f est le produit de deux fonctions dérivables sur [0,5; 8] :
      u\left(x\right)=20\left(x-1\right)
      u^{\prime}\left(x\right)=20
      v\left(x\right)=e^{-0,5x}
      v^{\prime}\left(x\right)=-0,5e^{-0,5x}
      On a donc :
      f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)
      f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{-0,5x}+20\left(x-1\right)\times -0,5e^{-0,5x}
      f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{-0,5x}\left(1,5-0,5x\right)
      f^{\prime}\left(x\right) = 10e^{-0,5x}\left(3-x\right)
    2. 10e^{-0,5x} > 0 sur \left[0,5; 8\right] donc f^{\prime}\left(x\right) est du signe de 3-x
      On obtient le tableau de variations suivant :

PARTIE B

    1. f\left(2,2\right)=20\times \left(2,2-1\right)e^{-0,5\times 2,2}=24e^{-1,1}\approx 7,989
      Le bénéfice réalisé par la production de 220 bicyclettes est 7 989€
    2. f\left(4,08\right)=61,6e^{-2.04}\approx 8,01
      Le bénéfice réalisé par la production de 408 bicyclettes est 8 010€
    1. L'entreprise fait des bénéfices si et seulement si f\left(x\right) > 0.
      Or 20e^{-0,5x} > 0 sur \left[0,5 ; 8\right] donc f\left(x\right) est du signe de x-1 et f\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow x > 1
      L'entreprise doit produire au moins 100 bicyclettes par mois pour réaliser des bénéfices.
    2. D'après la partie A, la fonction f atteint son maximum pour x = 3
      L'entreprise doit donc produire 300 bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum de 1000\times f\left(3\right)\approx 8 925€
    3. On sait d'après la question 1. que f\left(2,2\right) < 8 et f\left(4,08\right) > 8.
      On vérifie à la calculatrice que f\left(2,21\right) > 8 et f\left(4,09\right) < 8

      Graphiquement ou d'après le tableau de variation de f on en déduit que l'entreprise doit produire entre 221 et 408 bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à 8 000€
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