PARTIE A
1.
$f$ est le produit de deux fonctions dérivables sur $[0,5; 8]$ :
$$u\left(x\right)=20\left(x-1\right)u(x)=20(x−1)$$
$$u^{\prime}\left(x\right)=20$$
$$v\left(x\right)=e^{-0,5x}$$
$$v^{\prime}\left(x\right)=-0,5e^{-0,5x}$$
On a donc :
$$f^{\prime}\left(x\right)=u^{\prime}\left(x\right)v\left(x\right)+u\left(x\right)v^{\prime}\left(x\right)$$
$$f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{-0,5x}+20\left(x-1\right)\times -0,5e^{-0,5x}$$
$$f^{\prime}\left(x\right) = 20e^{-0,5x}\left(1,5-0,5x\right)$$
$$f^{\prime}\left(x\right) = 10e^{-0,5x}\left(3-x\right)$$
2.
$10e^{-0,5x} > 0$ sur $[0,5;8]$ donc $f^{\prime}\left(x\right)$ est du signe de
$3-x$
3.On obtient le tableau de variations suivant :
4.
PARTIE B
$$f\left(2,2\right)=20\times \left(2,2-1\right)e^{-0,5\times 2,2}=24e^{-1,1}\approx 7,989$$
Le bénéfice réalisé par la production de 220 bicyclettes est $7 989dh$
$$f\left(4,08\right)=61,6e^{-2.04}\approx 8,01$$
Le bénéfice réalisé par la production de $408$ bicyclettes est $8 010dh$
L'entreprise fait des bénéfices si et seulement si
$$f\left(x\right) > 0.$$
Or
$20e^{-0,5x} > 0$
sur $[0,5;8]$
donc
$f\left(x\right)$
est du signe de
$x-1$
et
$f\left(x\right) > 0 \Leftrightarrow x > 1$
L'entreprise doit produire au moins 100 bicyclettes par mois pour réaliser des bénéfices.
D'après la partie A, la fonction
$f$
atteint son maximum pour
$x = 3$
L'entreprise doit donc produire $300$ bicyclettes pour réaliser un bénéfice maximum de
$1000\times f\left(3\right)\approx 8 925dh$
On sait d'après la question 1. que
$f\left(2,2\right) < 8
et
$f\left(4,08\right) > 8$.
On vérifie à la calculatrice que
$f\left(2,21\right) > 8$
et
$f\left(4,09\right) < 8$
Graphiquement ou d'après le tableau de variation de $f$ on en déduit que l'entreprise doit produire entre $221$ et $408$ bicyclettes pour réaliser un bénéfice supérieur à $8 000dh$