Définition: On appelle discriminant du trinôme $ax^2 + bx + c$, le réel $\Delta=b^2-4ac$ où $a, b$ et $c$ sont des réels avec $a\not= 0$
- Si $\Delta$$<0$
Racines: Pas de racines réelles
Factorisation: Pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.
Signe: $ax^2 + bx + c$ est toujours du signe de $a$.
\begin{array}{l | c | r |}
\hline
\:\:\:\:\:\:\:\ x & -\infty \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: +\infty \\
\hline
ax^2 + bx + c& \text{Signe de } a\\
\hline
\end{array}
Factorisation: Pas de factorisation dans $\mathbb{R}$.
Signe: $ax^2 + bx + c$ est toujours du signe de $a$. \begin{array}{l | c | r |} \hline \:\:\:\:\:\:\:\ x & -\infty \:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: +\infty \\ \hline ax^2 + bx + c& \text{Signe de } a\\ \hline \end{array}
- Si $\Delta$$=0$
Racines: Une racine réelle dite "double": $x_0=-\frac{b}{2a}$
Factorisation: $ax^2 + bx + c=a(x-x_0)^2$.
Signe: $ax^2 + bx + c$ est toujours du signe de $a$ et s’annule pour $x=x_0$.
\begin{array}{|l|cr|}
\hline
x & -\infty \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: &x_0&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: +\infty \\
\hline
ax^2 + bx + c&\text{Signe de } a &0&\text{Signe de } a\\
\hline
\end{array}
Factorisation: $ax^2 + bx + c=a(x-x_0)^2$.
Signe: $ax^2 + bx + c$ est toujours du signe de $a$ et s’annule pour $x=x_0$. \begin{array}{|l|cr|} \hline x & -\infty \:\:\:\:\:\:\:\:\:\: &x_0&\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\:\: +\infty \\ \hline ax^2 + bx + c&\text{Signe de } a &0&\text{Signe de } a\\ \hline \end{array}