لقد تعلمنا سابقاً، في المعادلات من الدرجة الأولى و التي يكون المجهول فيها من الدرجة الأولى أن حل المعادلة يعني إيجاد قيمة المجهول وفي حالة المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد لا يختلف الأمر ، فحلها يعني إيجاد قيمتي (سنجد أن للمجهول قيمتين لأن المعادلة تربيعية) المجهول الوارد فيها.
1 - ما هي المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ؟
- a، b، c تسمى معاملات المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
- a يسمى المعامل الرئيسي
- c يسمى المعامل الثابت
- x هو المجهول في المعادلة
- 2x² + 5x + 3 = 0 هي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد و لدينا : a = 2 ; b = 5 ; c = 3
- x² - 3x = 0 هي معادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد و لدينا : a = 1 ; b = 3 ; c = 0
- 5x - 3 = 0 هي ليست معادلة من الدرجة الثانية بمجهول و إنما معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد لأن : a = 0.
و ماهو هذا المميز او المحددة ؟
كيف نحسب Δ مميز المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد ؟
كيف يمكننا إذن حل المعادلة ؟
المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد كما يدل إسمها على ذلك تحتوي على مجهول واحد ( مثلا x ) وتكون من درجة المربع أي انها تتضمن الحد ax² و شكلها العام هو ax² + bx + c = 0. و في حالة ما إذا كان a مساويا ل 0 فإن المعادلة تصبح تألفية ( معادلة من الدرجة الأولى بمجهول واحد ).
الشكل العام للمعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد :
أمثلة :
هناك عدة طرق لحل المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد : من بينها طريقة التعميل بواسطة العامل المشترك ( تجد الطريقة في هذا الدرس ) ، طريقة القسمة الإقليدية ( طريقة إنجاز القسمة الإقليدية تجدها هنا ) ، و طريقة المميز أو المحددة.
باللغة الفرنسية يسمى Discriminant و هو عدد يحسب إنطلاقا من معاملات المعادلة من الدرجة الثانية بمجهول واحد
(أي : a، b، c) و بحساب هذا العدد "المميز" يمكننا إيجاد حلول المعادلة إذا كانت هذه المعادلة فعلا تقبل حلولا.
نرمز لمميز المعادلة غالبا ب : Δ ( نقرأ دلتا Delta )
يحسب بالشكل التالي :
مثلا في المعادلة 5x² + 6x + 1 = 0 نحسب المميز بالكيفية التالية :
لدينا : a = 5 ; b = 6 ; c = 1 ،
إذن : Δ = b² - 4ac = 6² - 4.5.1 = 36 - 20 = 16
و الأن بعد أن عرفنا كيف نحسب مميز المعادلة...
هناك ثلاث حالات يمكن أن يكون عليها المميز Δ : إما سالبا قطعا او موجبا قطعا او مساويا ل 0.
إذا كان Δ < 0 : فإن المعادلة لا تقبل أي حل في مجموعة الأعداد الحقيقية أي أن مجموعة حلولها تكون فارغة.
إذا كان Δ > 0 : فإن المعادلة تقبل حلين مختلفين ويحسبان بالكيفية التالية :
إذا كان Δ = 0 : فإن المعادلة تقبل حلا وحيد هو: b/2a-.
في مثال المعادلة 5x² + 6x + 1 = 0 لدينا Δ > 0 لأن 16 > 0 و بالتالي المعادلة تقبل حلين في مجموعة الأعداد الحقيقية هما :
x = [ -6 + √16 ]/10 و x' = [ -6 - √16 ]/10
أي أن : x = ( -6 + 4 )/10 = -0,2 أو x' = ( -6 - 4 )/10 = -1.
إذن للمعادلة حلين هما :0,2- و 1-.
نتحقق من الحلين :
